Die schönste Gleichung aller Zeiten by Hans-Dieter Rinkens & Katja Krüger

Autor:Hans-Dieter Rinkens & Katja Krüger
Die sprache: deu
Format: epub
ISBN: 9783658284664
Herausgeber: Springer Fachmedien Wiesbaden

Hier kommt jetzt die Polynomdivision ins Spiel. Wir dividieren das Polynom

durch und erhalten ein Polynom vom Grad . Dann ist also

Nun ist klar, wie es weitergeht: Jede Polynomfunktion vom Grad hat mindestens eine komplexe Nullstelle , also . Dann gilt

Es kann übrigens sein, dass ist. Das stört unsere Überlegungen aber nicht.

Wir fahren nun mit dem Polynom fort und erhalten schließlich

Also: Jede Polynomfunktion vom Grad lässt sich in Produktform mit Linearfaktoren schreiben und hat folglich genau komplexe Nullstellen.

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergeben sich weitere einfache, aber wichtige Folgerungen.

Die Einheitswurzeln sind die Nullstellen der Polynomfunktion . Wir haben gesehen (Abschn. 2.4): Alle Einheitswurzeln liegen symmetrisch zur reellen Achse, d. h., mit jeder Einheitswurzel ist auch die dazu konjugierte Zahl eine Nullstelle der Polynomfunktion . Nun verallgemeinern wir diese Aussage auf beliebige Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten.

Nullstellen von Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten

Sind die Koeffizienten der Polynomfunktion

reelle Zahlen,

dann liegen die Nullstellen symmetrisch zur reellen Achse, d. h., mit der Nullstelle

ist auch die konjugierte Zahl eine Nullstelle.

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